But if your theory is found to be against the Second Law of Thermodynamics I can give you no hope; there is nothing for it to collapse in deepest humiliation.”
Arthur Stanley Eddington

We have missing processes in our models. Where is the frictional heating of falling rain?
Dave Randall in Banff 2019

Die Meteorologen haben Probleme, die Begriffe Auftrieb, Arbeit, Wärme, Entropie im Modellierungskontext richtig zu verwenden. Das führt nicht unbedingt auf falsche Resultate von Modellrechnungen, aber auf gefährlich tradiertes Halbwissen, welches man dann eben glauben, und nicht verstehen muss.

Geneigter Leser, oder geneigte Leserin! Ich möchte hier niemanden persönlich angreifen. Unterschiedliche Communities haben auch an unterschiedlichen Stellen Probleme: die französischen Probleme sind nicht die der Deutschen und die des Nordens nicht die des Südens. Und ich hab natürlich meine eigenen Verständnisprobleme.

Turbulenz und Entropie in der atmosphärischen Modellierung

Im Studium bekommt man gesagt: Wir beobachten, dass Tracer turbulent gemischt werden. Die potentielle Temperatur ist ein Tracer, genauso wie der spezifische Wasserdampfgehalt.

Im Folgenden wollen wir aber nur den trockenen Fall betrachten, alles andere irritiert vorerst die Argumentationskette. Im trockenen Fall (Index wie „dry“) ist die potentielle Temperatur über mit der Entropie verbunden. Die Entropie für trockene Luft ist . Die potentielle Temperatur ist die Temperatur, die ein Luftpaket annehmen würde, wenn man es adiabatisch zu dem Standarddruck von hPa führt: , womit wir auch gleich den Exner-Druck definiert hätten.

Mit dem Begriff der Entropie ist es so eine Sache: Theoretische Physiker interessieren sich für die statistische Darstellung im Boltzmannschen Sinne. Das wollen wir hier nicht tun, sondern ganz bei der klassischen Thermodynamik bleiben. Trotzdem sollte uns die statistische Deutung im Hinterkopf sein, denn sonst bekommen wir keine intuitive Vorstellung von den zu beschreibenden turbulenten Prozessen. In Hajo Langes Lehrbuch „Die Physik des Wetters und des Klimas“ steht ein schöner Satz: „Die Entropie beschreibt die ungeordneten Bewegungen der Moleküle, die sich in dem Sinne herausmitteln, dass kein sich ändernder mechanisch deutbarer Mittelwert übrig bleibt, obwohl diese Bewegungen Energieänderungen des Systems bewirken können.“ Man beachte, was hier nicht gesagt ist: über die Größe des Volumens ist korrekterweise nichts gesagt! In Atkins „Physikalischer Chemie“ steht auch, dass sich in der Umgebung entscheidet, was Arbeit und Wärme ist, also von der Position des Beobachters her, der entscheidet, was Umgebung ist und was nicht.

Zurück zur Anfangsfrage der turbulent zu diffundierenden Variable im Modell. Man sagt:

„Lasst uns die potentielle Temperatur, also die Entropie (im trockenen Fall), über den Mischungswegansatz diffundieren!“

„Wie bitte? Die Entropie diffundieren?“

Ich sage hier nicht, dass das, was seit Jahrzehnten gemacht wird, falsch ist, sondern dass wir die Argumentationskette für das, was wir üblicherweise tun, aufräumen müssen und Feinheiten anpassen müssen. Hier sind offensichtlich einige Begriffe durcheinander gekommen:

• Arbeit
• Wärme
• Entropie
• Auftrieb

Und es muss klar gestellt werden, was ein numerisches Modell nur kann. Ein Modell ist eben nur eine Karikatur der Natur. Aber langsam:

Zunächst müssen wir den Begriff der Volumenarbeit in unserem Kontext klären. Auf Seiten der Impulsgleichung gibt es den Druckgradientterm

Die Luft wird beschleunigt oder verlangsamt, also ändert sich deren spezifische kinetische Energie gemäß

Nun ist aber der Term genau die Kompressionsarbeit, die die innere Energie eines Luftpakets ändern kann. Beim Zusammendrücken gibt es eine Erwärmung und beim Expandieren eine Abkühlung. Mit diesen Überlegungen sind wir schon bei der Gibbs’schen Fundamentalgleichung. Die innere Energie eines Luftpakets kann sich nur durch Volumenarbeit (weiterhin ist auch die Änderung der chemischen Energie ein Teil der Arbeit) oder prozessierte Wärme ändern. Das heißt, alle Änderungen der inneren Energie, die nicht Arbeit sind, sind prozessierte Wärme und daher mit einer Entropieänderung verbunden. Nur bei reversiblen Prozessen bleibt die Entropie erhalten.

Das Problem bei der numerischen Modellierung ist, dass der Druckgradientterm und der Kompressionsterm über für die menschliche Erfahrungswelt große Skalen berechnet werden müssen, nämlich über die Skala einer Gitterbox. Volumenarbeit kann nur über die aufgelösten Skalen eines Modells dargestellt werden. Alles, was innerhalb eines Gittervolumens an turbulenter kinetischer Energie (TKE) und turbulenter potentieller Energie (TPE, besser: turbulente Auftriebsenergie) vorhanden ist, kann nicht als numerisch aufgelöste Energie mit den entsprechenden Energieumwandlungen dargestellt werden. Daher definiert man die (spezifische) turbulente kinetische Energie: , wobei das Hütchen bedeutet, dass der Mittelwert über die Gitterbox gemeint ist. Das Verrückte ist, dass wir die TKE aus Modellsicht nicht von der (spezifischen) inneren Energie unterscheiden können, in den Messungen aber schon, wir können ja Fluktuationen an einem Punkt messen. Der Pionier der numerischen Wettervorhersage, Lewis Fry Richardson, zählte 1922 daher auch die TKE zur inneren Energie, und nannte dieses Konstrukt intrinsische Energie.

Dies ist ein wichtiger Aspekt, den wir im Zusammenhang mit der kinetischen Gastheorie idealer Gase nochmals vertiefen wollen. Dort betrachtet man den Druck als die Kraft, die die Moleküle auf die Wände eines Volumens ausüben. Das ergibt . Dabei ist schon bedacht, dass das Volumen selbst bewegt sein kann, also eine Lagrangesche Geschwindigkeit hat. Nun betrachte man ein Volumen, worin selbst schon turbulente Bewegungen stattfinden. Man kennt also Temperatur und Geschwindigkeit an feinskaligen Messpunkten und/oder in hoher zeitlicher Auflösung. Dann ist der Druck, den man dem Gesamtvolumen zuschreibt . Diesen Ausdruck kann man unter dem Bedenken, dass für alle Messpunkte je konstant und per Definition ist, umformen zu , also . Die über die Messpunkte gemittelte Temperatur und die TKE sind je über mittlere quadratische Geschwindigkeiten, die jedoch andere Skalen erfassen, definiert. Damit ist die über die Messpunkte gemittelte Temperatur nicht die selbe wie die dem ursprünglichen Volumen zugeschriebene Temperatur . Dieser Unterschied ist in der Praxis winzig und zu vernachlässigen, soll aber vor Augen führen, dass, wenn wir uns mit Thermodynamik beschäftigen, das betrachtete Volumen (der Gitterbox) unser Anhaltspunkt ist, denn für dieses bestimmen wir den Druck. Die Temperatur muss konsistent zu diesem Druck gehören. Damit sind die Begriffe Arbeit und prozessierte Wärme bezüglich der Größen Druck, Temperatur und Volumen genau bestimmt.

Da die TKE eine positiv definite Größe ist, können wir die Analogie zur inneren Energie sogar soweit ziehen, dass wir eine ‚turbulente Wärmekapazität‘ als veränderliche positive Größe definieren und ganz analog zur (spezifischen) inneren Energie schreiben . Diese Auffassung sei hier nur mit dem Verweis angemerkt, dass sie nützlich ist, um später die Gleichungen um einen isothermen Grundzustand linearisieren zu können.

Der turbulente Wärmefluss, der über die Seitenflächen der Gitterboxen fließt, kann nur als die Summe des üblichen Enthalpieflusses und des TKE-Flusses dargestellt werden. Wegen des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, der besagt, dass Entropie durch interne Prozesse nur zunehmen kann, darf dieser turbulente Wärmefluss, also die Summe der genannten Flüsse, nicht dem Gradienten von (hier ist nicht gemeint) aufwärts fließen. Das ist auf den ersten Blick unintuitiv, da unsere Wahrnehmung von Temperatur erst mal die TKE nicht auf dem Schirm hat. In Atkins „Physikalischer Chemie“ steht aber: „Formal ist die Temperatur eine Größe, die angibt, in welcher Richtung Energie in Form von Wärme fließen wird, wenn wir zwei Systeme über eine wärmeleitende Wand miteinander in Kontakt bringen.“ Die Größenordnungsdefinition der ‚wärmeleitenden Wand‘ ist hier von Belang.

Soweit die Theorie.

Was ist in der Modellierungspraxis zu finden?

• Entwickelt wurde das Turbulenzverständnis mit den Boussinesq-Gleichungen. Die Boussinesq-Gleichungen haben keine mit der Thermodynamik konsistente Energieumwandlungen. Die Energieumwandlungen (i) kinetische Energie in innere Energie und zurück, sowie (ii) kinetische Energie in potentielle Energie und zurück sind „zusammengebacken“. Wir haben es mit der Umwandlung von Auftriebsenergie in kinetische Energie und zurück zu tun. Wenn wir die Auftriebsgröße diffundieren, dann diffundieren wir auch immer das Schwerefeld mit, und das ist unphysikalisch. Explizit wird in der Modellierung mit den vollen Gleichungen (nicht Boussinesq!) korrekterweise über den Mechanismus der massengewichteten Hesselberg/Favre-Mittelung ausgeschlossen, dass Masse diffundiert wird, daher wird dort das Schwerefeld nicht diffundiert.
• Es haben sich zwei Schulen ausgebildet.
  • Die einen benutzen die potentielle Temperatur (oder eine feuchte Variante davon) als die dem Auftrieb verwandteste Größe als prognostische Variable und diffundieren diese potentielle Temperatur: . Dieser Vorgang ist aber nicht energieerhaltend. So wird in WRF und MPAS vorgegangen.
  • Die anderen benutzen die Temperatur als prognostische Variable und diffundieren eine Form der statischen Energie: im trockenen Fall. Die turbulente Tendenz ist also . So wird im IFS-Modell vom ECMWF vorgegangen. Im COSMO-Modell steht ähnlicherweise in der Dokumentation: . In dieser Variante ist die Energie erhalten, aber bei stabiler Schichtung kann man feststellen, dass Entropie zerstört und nicht generiert werden könnte. Das sieht man am einfachsten, wenn man die Entropieproduktion als ausrechnet und bedenkt, dass bei stabiler Schichtung mit der Höhe zunimmt, während trotzdem noch die Temperatur mit der Höhe abnehmen kann.
  • Beide Varianten sind also an bestimmten Stellen falsch.
• Oftmals benutzen Modelle eine prognostische TKE-Gleichung, aber lassen den oben diskutierten TKE-Flussterm weg. Die TKE-Gleichung wird nicht zur Gesamtenergetik des Modells gehörend wahrgenommen, sondern nur als Methode, um durch ihren Betrag die Stärke der Turbulenz abzuschätzen.

Der wesentliche Fehler der herkömmlichen Herangehensweise ist, dass die Gesamtenergetik des Modells nicht betrachtet wird und man sich vorrangig auf die Frage, welche passiven Tracer man zu diffundieren hat, fokussiert.

Boussinesq-Approximation

Turbulenz wurde und wird fast immer unter der Boussinesq-Approximation betrachtet. Von der numerischen Seite ist das am feinsten, da man Schallwellen gefiltert hat: die Inkompressibilität ist ein starkes Mittel zum Zweck der effektiven Numerik. Aber was bedeutet die Boussinesq-Approximation eigentlich physikalisch?

Die meiner Meinung nach präziseste Darstellung der Boussinesq Approximation habe ich in Dale Durrans „Numerical Methods for Fluid Dynamics“ gefunden. Dort wird im Gegensatz zu vielen anderen Darstellungen klar, dass es dabei um den Auftrieb und nicht um die Temperatur, und schon gleich gar nicht um Wärme geht. Dale Durran definiert die Druckvariable (pressure) , die Auftriebsvariable (buoyancy) und die Brunt-Väisälä-Frequenz

wobei die Querstriche horizontale Mittel bedeuten und schreibt mit diesen Variablen die Boussinesq-Gleichungen ohne diffusive Terme

Die zugehörige Boussinesq-Gesamtenergie ist . Hierin gibt es also keine direkt ersichtliche innere Energie, nur kinetische und potentielle Energie, die aber schon genügen, um die gesamten Prozesse, die für den Auftrieb relevant sind, abzubilden. Für den Auftrieb sind Dichteunterschiede relevant. Je weniger dicht ein Luftpaket gegenüber seiner Umgebung ist, desto mehr Auftrieb bekommt es. Es wird sich nach oben beschleunigt bewegen.

Nun schreibt auch Dale Durran, dass diese Form der Boussinesq-Gleichungen mathematisch „schön“ ist, aber ihre qualitative Übereinstimmung mit der Atmosphäre zu wünschen übrig lässt. Die Meteorologen kommen nun mit ihrer potentiellen Temperatur. Aus wird , wobei die virtuelle potentielle Temperatur ist und der Exner-Druck. Der virtuelle Temperaturzuschlag beinhaltet, dass Wasserdampfmoleküle leichter sind als Moleküle der trockenen Luft und Wassertropfen oder Eisteilchen dem positiven Auftrieb entgegen stehen. Die virtuelle potentielle Temperatur ist außer im trockenen Fall nicht zu verwechseln mit der Entropie. Um das klarzustellen, sei folgende Abbildung gezeigt, die vier verschiedene Arten der potentiellen Temperatur an einem Sommertag mit konvektiver Grenzschicht zeigt: die virtuelle potentielle Temperatur (rot), die unter den Meteorologen sehr beliebte äquivalentpotentielle Temperatur (grün) und zwei Varianten einer entropiepotentiellen Temperatur (mit (blau) und ohne (gelb) Hintergrundkonstanten der Entropie für trockene Luft, bzw. Wasserdampf).

Während die virtuelle potentielle Temperatur was mit dem Auftrieb zu tun hat, haben die anderen Varianten damit nichts zu tun. Nur mit der virtuellen potentiellen Temperatur kann man die Boussinesq-Gleichungen in obiger Form benutzen, wenn

Nun ist es von den relativen Dichteschwankungen zu den relativen virtuellen potentiellen Temperaturschwankungen nicht weit, und weil die relativen Druckfluktuationen klein sind gegenüber den relativen Temperaturschwankungen, landen wir also bei den relativen Temperaturschwankungen als relevante Größe des Auftriebs. Temperaturschwankungen lassen sich auch leicht messen.

Nun gehen wir mit unserem Ansatz: „Ich muss die turbulenten Diffusionen auf die Tracergröße anwenden“ los:

wobei die Fluktuationen anzeigt. Klammheimlich wird dabei aber verbal der auftriebsbedingte Fluss in einen „Wärmefluss“ oder umgewandelt. Man redet immer vom „Wärmefluss“, obwohl es sich hier nicht um fließende Wärme handelt, denn wir hatten ja gesehen, dass wir bei den Boussinesq-Gleichungen die innere Energie (die sich durch , also zum Beispiel die Divergenz der Wärmeflüsse, ändern könnte) nicht von der potentiellen Energie trennen können.

Wie kommen wir jetzt aus dem Dilemma raus, dass die Boussinesq-Gleichungen sehr praktisch und realitätsnah sind, wir von ihnen über die Jahrzehnte viel über Turbulenz gelernt haben, unsere Parametrisierungsansätze von ihnen abstammen, siehe Monin-Obuchow-Theorie, wir aber von ihnen nicht direkt auf die Turbulenzdarstellung im vollen Gleichungssystem schließen dürfen?

A priori Mittelung der Ausgangsgleichungen unter Berücksichtigung einer eigenen Gleichung für die TKE

Jetzt machen wir Nägel mit Köpfen und schauen die vollen Gleichungen für die turbulente feuchte Atmosphäre an.

Wenn man also die Auffassung von Richardsons intrinsischer Energie übernimmt und die TKE mit zur inneren Energie zählt, dann ergibt sich die Gibbs’sche Fundamentalgleichung (in massenspezifischer Schreibweise) zu

wobei hier interne und externe Entropieänderungen unterschieden sind. Nur die internen Änderungen beschreiben die Irreversibilität und müssen positiv sein.

Wir bedenken, dass wir ja schon lange die TKE-Gleichung kennen, sie nur nie auf der Ebene der Gesamtenergetik gebraucht haben. Mit ihr ergibt sich das gesamte Gleichungssystem für die Atmosphäre zu

Die benutzten Symbole sind ganz unten erklärt. Hier ist erst mal wichtig zu erkennen, dass die TKE-Gleichung explizit auftaucht, während die Gleichung für die turbulente potentielle Energie TPE (Auftriebsenergie) hier nicht explizit zutage tritt. Wir werden gleich sehen, wo sie implizit versteckt ist. Zunächst halten wir fest, dass der klassische sensible Wärmefluss als Summe eines „molekularen“ und eines „turbulenten“ Flusses auftritt , wobei wir den „molekularen“ Anteil nur dort brauchen, wo es keinen „turbulenten“ Fluss gibt. Der „turbulente“ Flussanteil kann nur dort existieren, wo es auch eine TKE gibt. Das bedeutet, dass praktisch nur der Bodenfluss als „molekularer“ Flussanteil gezählt wird, denn am Boden verschwinden alle turbulenten Geschwindigkeiten, aber natürlich nicht die Molekülgeschwindigkeiten.

Die TKE-Gleichung hat einen Auftriebs-Produktions/Verlust-Term

An dieser Stelle kommt also die Sortierung nach dem Auftrieb ins Spiel. Die Abweichung von der hydrostatischen Balance regelt die Generierung oder Zerstörung von TKE. Der Auftrieb hat an dieser Stelle nichts mit der Entropiebilanzgleichung zu tun, denn wir sind ja schon dabei, die Prozesse INNERHALB des betrachteten Volumens anzuschauen und NICHT nur den „Fluss über den Rand“-Blick einzunehmen, was die thermodynamischen Hauptsätze allein nur fordern.

Ganz schnell sieht man, dass der Auftriebs-Produktions/Verlust-Term mit einer versteckten TPE-Gleichung Energie über die Divergenz des klassischen sensiblen Wärmeflusses austauscht

Der letzte Term ist uns bekannt, er kam schon als subskaliger Term in den Boussinesq-Gleichungen vor:

Diese Referenz zu den oben beschriebenen Boussinesq-Gleichungen hilft uns hier sehr, denn die Boussinesq-Gleichungen haben keinen Term für eine Volumenarbeit nach außen, denn bei nur bei ihnen — und nicht bei den vollen Gleichungen — ist . Damit erlaubt ihr subskaliger Term einen Blick in die subskaligen Energieumwandlungen zwischen TKE und TPE. Beide, TKE und TPE, werden zwar ineinander umgewandelt, nach außen erscheint ihr beider gemeinsamer Energiefluss als Wärmefluss.

Der Diffusionsterm der potentiellen Temperaturgleichung multipliziert mit vollzieht also nach, wie TKE und TPE ineinander umgewandelt werden. Energie muss aufgebracht werden, wenn bei stabiler Schichtung turbulente Eddies (Luftballen) vertikal nach oben oder unten verschoben werden sollen. Woher kommt diese Energie? Natürlich aus der TKE. Das heißt, wenn bei stabiler Schichtung der gemessene klassische sensible Wärmefluss nach unten vorhanden ist, wird dafür die TKE genommen, die sich ansonsten durch Diffusion verteilen würde. In der Folge ist die Summe oder sogar dem Temperaturgradienten abwärts und damit mit dem zweiten Hauptsatz konform. Und genau das wird ja auch beobachtet: bei stabiler Schichtung entsteht erst mal durch Scherungsproduktion TKE in Bodennähe und diese kann verwendet werden, um den klassischen sensiblen Wärmefluss am Leben zu erhalten. Ebenso ist in der Schicht an der Obergrenze einer konvektiven Grenzschicht noch TKE vorhanden, die trotz stabiler Schichtung einen klassischen sensiblen Wärmefluss aufrecht erhalten kann.

Wo können die oben genannten Modellfehler von WRF/MPAS bzw. IFS korrigiert werden?

Um diese Frage zu beantworten, schreiben wir die Temperaturgleichung in zwei verschiedenen Varianten auf

Die Entweder-Form entspricht dem klassischen turbulenten Mischungsansatz in der -Gleichung, siehe WRF/MPAS. Normalerweise wird aber vergessen, die dissipierte TKE dort hinzuzuaddieren. Es wird auch der Bodenfluss nicht durch den molekularen Fluss dargestellt, sondern der -Term wird einfach auch in der untersten Modellschicht benutzt.

Die Oder-Form fokussiert auf eine Flussbudgetgleichungsform, siehe IFS. Hier sieht man auch den äußeren Scherungsstress an dem Luftvolumen: das ist die Scherungsproduktion der TKE. Wenn man den letzten Term auf die linke Seite schreibt, sieht man, dass er wie eine Temperaturtendenz wirkt . Wenn man für einen Moment konstant lässt und eine lineare Wellenanalyse durchführt, bekommt man linear gedämpfte Wellen für einen Diffusionsansatz für die Temperatur. Im IFS-Modell addiert man den TKE-Fluss nicht und hat auch keinen Term der Tendenz der TKE .

Diskussion

Die beiden genannten Formen sind natürlich physikalisch äquivalent.

Nur in der Oder-Form sieht man den zweiten Hauptsatz schon fast direkt, indem dort der Gesamtfluss als Summe von klassischem sensiblen Wärmefluss plus TKE-Fluss auftaucht und man die Bedingungsfrage: „Ist ?“ direkt auswerten kann.

Mit dem zweiten Hauptsatz steht ein physikalisches Argument zur Verfügung, das es erlaubt, die TKE-Gleichung bei stabiler Schichtung genauer zu spezifizieren und für diesen Fall einen Turbulenzkoeffizienten für die potentielle Temperatur in der Entweder-Form zu bestimmen. Im Fall, dass der Gesamtfluss nicht downgradient T wäre, limitiert man den Gesamtfluss so, dass er verschwindet. Diese Bedingung nutzt man im Auftriebsproduktions/Verlust-Term der TKE-Gleichung. Die Brunt-Väisälä-Frequenz wird dort ersetzt. Man bekommt eine nichtlineare TKE-Gleichung, die negative TKE-Werte verhindert. Wichtig ist der TKE-Flussterm, der downgradient der TKE parametrisiert wird, aber physikalisch vor allem den subskaligen ‚Druckfluss‘-Term und weniger den Fluss der TKE selbst repräsentiert. Die Turbulenz ist nur noch mechanisch getrieben. In der TKE-Gleichung kommt kein thermischer Term mehr vor.

Der positive Auftrieb ist ein Beschleuniger der thermischen Turbulenz und der negative Auftrieb deren Stopper. Der negative Auftrieb limitiert die Turbulenz im Fall des verschwindenden Gesamtwärmeflusses auf ihren mechanischen Anteil. Die Forderung des zweiten Hauptsatzes nach einem Fluss downgradient der Temperatur gibt nur die Richtung des Gesamtflusses, nicht dessen Stärke vor. Die Stärke des Flusses regelt der Auftrieb.

Der Befund, dass bei stabiler Schichtung die thermische Entropieproduktion praktisch Null ergibt, erlaubt es tatsächlich, die Turbulenz in dem Fall als ‚quasi-adiabatisch‘ zu beschreiben. Denn ‚quasi-adiabatisch‘ meint genau das: verschwindende Entropieproduktion, zumindest was deren thermischen Anteil anbetrifft.

Die obige Diskussion macht nochmals klar, dass der Begriff „Wärmefluss“ in der Meteorologie NICHT der klassisch-thermodynamischen Nomenklatur entspricht. Dies hat mich sehr lange gewundert und ich wollte herausfinden, wie die Bezüge zwischen den zwei Begriffen (Teekesselchen) zu beschreiben sind.

Eine ähnliche Begriffsverwirrung gibt es beim Begriff der mechanischen Dissipation. Meteorologen meinen damit die Dissipation der TKE in innere Energie . Von der Perspektive der Modellthermodynamik her ist jedoch die Scherungsproduktion gemeint, denn diese repräsentiert die Scherkräfte, die am betrachteten Volumen (Modellgitterbox) angreifen.

Die diskutierte Darstellung des thermodynamischen Wärmeflusses bleibt auch mathematisch formal wirksam, wenn man die Schwerkraft abschalten würde. Dann gäbe es keinen Auftrieb mehr und die Umwandlung zwischen TKE und TPE spielte keine Rolle mehr. Dann bliebe nur noch der molekulare Wärmefluss downgradient T übrig.

Nachbemerkung

Pascal Marquet hat eine Variante der Brunt-Väisäla-Frequenz für den Fall mit Kondensation entwickelt. Man müsste schauen, ob es dazu eine alternative Variante der zu mischenden Auftriebsvariable gäbe. Das sind aber meiner Meinung nach alles sekundäre — wenn auch für ein echtes Modell wichtige — Überlegungen. Zunächst müssen wir überhaupt ein richtiges Verständnis für die Rolle der irreversiblen Prozesse und ihrer Darstellung im Modell finden.

Glossar

: spec.~turbulent kinetic energy, : constituent (ry, apour, iquid, rozen), : spec.~content of (), : temperature, : spec. internal energy, : spec.~enthalpy, : spec.~entropy, : chemical potential, : shear production with : momentum diffusion tensor and : wind vector, : radiation flux, : sensible heat flux, : tke flux, constituent flux (), constituent source/sink}, , : density, : specific volume, : partial pressure, and : spec. heat capacities at constant pressure and volume, : spec. gas constant, : tke dissipation rate, : buoyancy production and loss, : Exner pressure, : chosen type =(liquid water, virtual, …) potential temperature (), : Bernoulli function, : relative humidities over liquid or frozen water, : enthalpies of vaporization and sublimation.

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Unsere südlichen Nachbarn sind der Winterdepression genauso ausgesetzt, wie wir hier im Norden. Zwar scheint die Sonne im Winter länger als bei uns an der Küste, aber der verdammte Hochnebel in den Tälern treibt die Leute zur Mittagspause in die Seilbahnen, mit der sie zumindest über die Wolken kommen und ein bisschen Sonne tanken können. Warum ist diesen Nebel vorherzusagen so schwer?

Aufsteigend musst Du Dich bemühen,
Doch ohne Mühe sinkest Du.
Der liebe Gott muss immer ziehen,
Dem Teufel fällt’s von selber zu.
Wilhelm Busch

Als ich anfing mit der meteorologischen Modellierung, gab es viele Diskussionen darum, ob man die geländefolgenden Koordinaten behalten sollte oder z-Koordinaten einführen sollte, also waagerechte Koordinatenlinien, die dann aber die Berge durchkreuzen müssen und daher ihre eigenen Probleme haben. Hier ist eine Skizze der geländefolgenden Koordinaten.

Die geländefolgenden Koordinaten können das Problem haben, dass im Fall, dass die Atmosphäre über einen Berg ruht, im Modell die wildesten Vertikalbewegungen entstehen. Das liegt daran, dass der Druckgradientterm in einem Teil entlang der Koordinatenlinien berechnet wird und dann noch eine Korrektur wegen der geländefolgenden Koordinaten ansteht.

Ein massives Problem ist auch die untere Randbedingung, da man dort nicht mit zentrierten Differenzen berechnen kann, wie bei allen anderen Schichten. Das führt auf einen Sprung in der Fehlercharakteristik. Man kann das Problem umgehen, indem man explizit das Verschwinden der kontravarianten Vertikalgeschwindigkeit fordert. Das bedeutet, dass es keinen Fluss über den unteren Rand geben kann. Ein bisschen Algebra hat damals im COSMO Modell das Problem mit den falschen Vertikalgeschwindigkeiten sehr reduziert. Dies ist hier gezeigt für eine Gitterweite von 7 km für die korrigierte Version (links) und die Originalversion (rechts). Die Vertikalgeschwindigkeiten sind in cm/s angegeben.

Später habe ich das ICON-IAP Modell selbst entwickelt und noch höhere und steilere Berge für diesen Test benutzt. Hier ist das Resultat für einen wirklich steilen Berg.

Als Fazit kann man sagen: Die genaue Spezifikation der Numerik kann die Fehler minimieren, sie gehen jedoch nie ganz weg. Bei einem Berg von 6 km Höhe und 4 km Halbwertsbreite sind Vertikalgeschwindigkeiten im einstelligen cm/s-Bereich sehr gut! Es gibt zwei Dinge, die man beachten muss

• Es gibt nur eine untere Randbedingung: die kontravariante Geschwindigkeit am unteren Rand muss verschwinden.
• Die Energieumwandlungen müssen korrekt wiedergegeben sein. Denn ist die Gesamtenergie erhalten, kann keine der beteiligten Energien (kinetische Energie, potentielle Energie, innere Energie) aus der Reihe tanzen. Für die korrekten Energieumwandlungen kann man die Hamiltonische Formulierung mit Poisson-Klammern heranziehen.

Die Atmosphäre ist ein geschichtetes Medium, daher ist der Impulsdiffusionstensor nicht mehr isotrop, sondern anisotrop. Der spurfreie Impulsdiffusionstensor ergibt sich folgendermaßen

wobei horizontale und vertikale Diffusionskoeffizienten zu unterscheiden sind. Auch hier muss man die Gradienten in geländefolgenden Koordinaten formulieren und auf die unteren Randbedingungen aufpassen. Für das hexagonale ICON-IAP Modell wurde das für die horizontale Diffusion eine ziemlich komplizierte Angelegenheit. Scherungs- und Dehnungsdeformationen müssen mit speziellen Gewichten w auf den geforderten Gitterpunkten bestimmt werden.

Mit diesen doch recht komplizierten Formeln ist man physikalisch konsistent unterwegs und kann auch die dann automatisch positive Scherungsproduktion als Eingang in die TKE-Gleichung richtig bestimmen.

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Meteorologen sind keine Mathematiker. Sie entwickelten eine eigene Tradition numerischer Diskretisierungen. Das quadrilaterale Arakawa C-Gitter hatte sich in der meteorologischen Community zum Standard entwickelt. Geht das auch auf der Kugel? Sollten die Gitterflächen dort Dreiecke wie im deutschen ICON-Modell sein, oder etwa Hexagons und Pentagons, wie in dem US-amerikanischen MPAS-Modell?

Mit den Irrtümern der Zeit ist schwer sich abzufinden; 
widerstrebt man ihnen, so steht man allein; 
lässt man sich davon befangen, 
so hat man auch weder Ehre noch Freude davon. 
Johann Wolfgang von Goethe

Koordinatensystem mit drei Basisvektoren

Das numerische C-Gitter positioniert skalare Werte wie Druck und Temperatur im Zentrum einer Gitterbox. Die horizontalen Geschwindigkeitskomponenten stehen senkrecht auf den Seitenflächen (oben im Bild den Kanten). Das zugehörige Koordinatensystem hat für Anwendungen auf einem ikosaederbasierten Gitter drei Richtungen. Vektoren können daher immer auf verschiedene Weisen dargestellt werden (siehe Bild weiter unten), mit roten und blauen, oder roten und schwarzen, oder schwarzen und blauen Komponenten allein. Es sind zu viele Geschwindigkeitsinformationen vorhanden. Daher muss man als mathematische Nebenbedingung fordern, dass die lineare Abhängigkeit zwischen den Geschwindigkeitskomponenten immer bestehen bleibt.

Die lineare Abhängigkeit von Vektorkomponenten kann man untersuchen, indem man das horizontale Windfeld mit der Helmholtz-Zerlegung darstellt. Diese beruht darauf, dass das horizontale Windfeld zwei verschiedene Eigenschaften hat: die horizontale Divergenz und die vertikale Komponente des Wirbels (=Vorticity). Die horizontale Divergenz kann mit dem Vektorpotential dargestellt werden () und der vertikale Wirbelanteil ist über die Stromfunktion repräsentiert () . Dann gilt für den Windvektor , wobei der vertikale Einheitsvektor ist. In dem trivariaten Koordinatensystem liest sich das so:

Wegen der linearen Abhängigkeit ist , insbesondere gilt . Wie überträgt man diese kontinuierliche Darstellung auf die diskrete Darstellung?

Die diskrete Darstellung wird im Folgenden mit einem Hütchensymbol angezeigt. Die Orte der Geschwindigkeitskomponenten befinden sich an den Kanten einer Gitterbox. Die Orte von und können nur die Zentren der Hexagons sein, denn nur dann stimmt die Anzahl der sinnvollen Freiheitsgrade: Es gibt drei statt der üblichen zwei Freiheitsgrade in der Repräsentation der Geschwindigkeitskomponenten, also muss es auch genau zwei Freiheitsgrade in geben. Das geht nur, wenn diese auf den Zentren der Hexagons positioniert werden.

Nun steht die Aufgabe, die Geschwindigkeitskomponenten von den Kanten „irgendwie“ zum Zentrum eines Hexagons zu mitteln. John Thuburn von der Universität Exeter fand 2008 eine solche Mittelung, die nun mit symbolisiert wird. Im Bild deuten die unterstrichenen Zahlen die Anteile (in Sechstel) an, mit denen man zunächst auf die Kante von Koordinatenachse 1 mitteln muss, bevor man den nun diskreten Gradienten ausrechnet. Die Summe ist tatsächlich null. Man kann die einzelnen Summanden von in jeder Gitterbox darstellen, und wie im Bild gezeigt, ergeben sie in jeder Gitterbox in der Summe null. Die lineare Abhängigkeitsregel überträgt sich automatisch auf den Wirbelanteil des Windfeldes, wenn schon in diesen Termen die Thuburn-Mittelung angewendet wird

Ein interessanter Aspekt der linearen Abhängigkeitsregel ist, dass man die Summe uminterpretieren kann in die Aussage, dass es kein Schachbrettmuster im Wirbel des Windes gibt, wenn man die Wirbel als Umlaufintegral um die Kanten von Dreiecken ausrechnet: Für die Dreiecke mit der Spitze nach oben gilt und für die Dreiecke mit der Spitze nach unten gilt . Ein Hexagonzentrum wird von je drei nach oben und nach unten zeigenden Dreiecken umgeben, und man findet . Das heißt, dass die Summe der drei nach oben zeigenden Dreiecksvorticities gleich die Summe der drei nach unten zeigenden Dreiecksvorticities ist. Anschaulich bedeutet dass, dass es kein Schachbrettmuster gibt. Diese Eigenschaft kann man ausnutzen, wenn das Gitter leicht verformt ist, denn auf der Kugel ist das reguläre Gitter nicht anzutreffen. Diese Schachbrettvermeidungsregel ist in der inzwischen Standard gewordenen TRiSK-Vektorrekonstruktion für die Tangentialgeschwindigkeit im Coriolisterm numerisch umgesetzt.

Die Schachbrettfreiheit der Vorticity auf Dreiecken ist also ein mathematischer Aspekt, der aus der linearen Abhängigkeit der Geschwindigkeitskomponenten im regulären Gitter als Eigenschaft auf ein deformiertes Gitter als Constraint übertragen wird.

Aus physikalischer Sicht, unter anderem der Dispersionsrelation der Flachwasserwellen, stellt sich jedoch heraus, dass die Vorticity auf Rhomben, also zwei verbundenen Dreiecken, relevant ist. Auf dem Bild ist mit den bunten Kanten der Umlaufweg um das jeweilige mit dem dicken Punkt angedeutete Zentrum des Rhombus angedeutet. Die schwarze Kante trägt alle Farben. Man findet für die Vorticity auf Rhomben ein diskretes Äquivalent zu , nämlich zum Beispiel für den Rhombus an Kante 1 (in der Mitte des Bildes):

Und obendrein findet man damit ganz einfach, dass . Diesen Zusammenhang braucht man beim Beweis, dass auch für den um einen konstanten Grundstrom linearisierten verallgemeinerten Coriolisterm die lineare Abhängigkeit gewährleistet bleiben kann. Dann darf in diesem Term für die Windkomponente an Kante 1 nur die im Bild bunt dargestellten Rhombusvorticities benutzen. In der Folge wird die aus den kontinuierlichen Gleichungen bekannte Äquivalenz , also die Äquivalenz von vektorinvarianter Form und Advektionsform, weitestgehend erfüllt. Die Advektionsform ist die Voraussetzung dafür, dass man versteht, wie Verfahren höherer Ordnung, die die numerischen Dispersionsfehler der Advektion bekämpfen, formuliert werden können.

Diese bedeutungsmäßige Unterscheidung der Vorticity auf Dreiecken (mathematischer Aspekt wegen der überspezifizierten Geschwindigkeitskomponenten und daher Grundlage der TRiSK Vektorrekonstruktion) und der Vorticity auf Rhomben (physikalischer Aspekt in der Dispersionsrelation und in der Advektion des Impulses) ist den meisten Autoren nicht bewusst.

Weil für die linearisierten Gleichungen kein Schachbrettmuster des Wirbels auf Dreiecken auftreten kann, bedeutet dies im Umkehrschluss, dass das tatsächliche Auftreten eines Schachbrettmusters ein Zeichen einer nichtlinearen Energiekaskade ist, wobei durch nichtlineare Advektion des Windes mit dem Wind immer kleinere Skalen entstehen. Diese kleineren Skalen gehören nicht mehr zur nominellen Auflösungsskala des Modells.

Zusammenfassung der Konsequenzen der linearen Abhängigkeit

• Die Divergenz ist auf Hexagons definiert.
• Der Wirbel (im physikalischen Sinn) ist auf Rhomben definiert.
• Im linearen Fall gibt es kein Schachbrettmuster des Wirbels auf Dreiecken.
• Schachbrettmuster im Wirbel auf Dreiecken im nichtlinearen Fall sind Zeugnis der Energiekaskade hin zu kleineren Skalen.
• Die Forderung der Schachbrettfreiheit der Wirbel auf Dreiecken ist der Hintergrund der TRiSK-Vektorrekonstruktion im deformierten Gitter, welches man auf der Kugel antrifft.
• Die Vorticity auf Dreiecken gehört nicht zum Modelloutput. Nur die Vorticity auf Rhomben, also an Kantenpunkten, ist ein physikalisch sinnvoller Modelloutput.

So sehen Ergebnisse mit dem hexagonalen Model aus

Hier ist ein Vergleich verschiedener Modellkonzeptionen, die sich in der nichtlinearen Advektion des Impulses unterscheiden. Gezeigt ist die absolute Vorticity im Flachwassermodell auf dem äquilateralen Gitter. Die G18 Methode ist die oben erwähnte Methode, bei der die vektorinvariante Form der Impulsadvektion der advektiven Form fast perfekt entspricht. Nur die Abbildung rechts unten benutzt eine Methode, die, wie die Mathematiker sagen, von höherer Ordnung ist.

Die Methode höherer Ordnung vermindert auch die Entstehung von Schwerewellen aufgrund von den in der Numerik bekannten Dispersionsfehlern. Dies funktioniert auch auf dem deformierten Gitter auf der Kugel: Farbig dargestellt sind die Ergebnisse mit dem Verfahren höherer (3.) Ordnung, die überlagerten Konturen sind Ergebnisse mit dem Verfahren 2. Ordnung ohne (links) und mit (rechts) zusätzlicher Diffsion. Die Methode höherer Ordnung hat die geringsten Signaturen von fälschlich erzeugten Schwerewellen.

Was ist daher an ICON falsch?

ICON definiert die Hauptgitterpunkte auf Dreiecken. Im Vergleich zum hexagonalen C-Gitter befinden sich die Geschwindigkeitskomponenten an den gleichen Orten, sind aber um 90° gedreht.

Die Abbildung zeigt das Muster des Divergenzfeldes bei der Testaufgabe, einen zonalen Grundstrom zu simulieren, ein lineares Problem!

ICON hat folgende konzeptionellen Probleme:

• Die prognostischen Geschwindigkeitskomponenten können nicht linear abhängig gehalten werden, da die Gradientkomponenten dies nicht hergeben.
• Es ergibt sich schon im linearen Fall (und nicht erst im nichtlinearen Fall wie oben bei den Hexagons beschrieben) ein Schachbrettmuster der Divergenz auf Dreiecken.
• Die Rekonstruktion der Tangentialgeschwindigkeit für den Coriolisterm könnte ebenso wie im hexagonalen C-Gitter erfolgen. Die Vektorkomponenten sind ja nur um 90° gedreht. Implementiert ist aber eine RBF-Rekonstruktionsvariante, die mit Scheuklappenblick die Einbettung in die Gesamtnumerik ignoriert.
• Es gibt doppelt so viele Dreiecke wie Sechsecke, daher müssen die Parametrisierungen subskaliger Prozesse bei gleicher numerischer Auflösung des Geschwindigkeitsfeldes doppelt so häufig berechnet werden wie im hexagonalen C-Gitter. Das erhöht den Rechenaufwand immens.
• Korrekte Energieumwandlungen zwischen kinetischer Energie (Druckgradientterm) und innerer Energie (Kompressionsterm) darzustellen, wird erheblich erschwert.
• Das Bügeleisen, welches das Schachbrettmuster plättet, widerspricht der Intention derer, die das C-Gitter einst erfanden. Sie taten das, um inhärente Mittelungen zu vermeiden, die auf anderen Gitterstaffelungsarten unvermeidlich sind und zu größeren numerischen Fehlern in der Wellenausbreitung führen.
• Den Glättungsoperator, der benötigt wird, um das Schachbrettmuster zu verstecken, kann man nicht alternativ als Impulsdiffusionsoperator darstellen. Daher gibt es Schwierigkeiten mit der Entropiebilanz und mit der Wellendispersionrelation im dreidimensionalen Fall, da man ja eine horizontale Divergenz aus numerischen Gründen dämpft, der Impulsdiffusionsoperator aber nur eine dreidimensionale Divergenzdämpfung beinhaltet. Dieses Problem war schon im COSMO-Modell aufgetreten.
• Die benutzte vektorinvariante Form der Impulsadvektion lässt sich nicht näherungsweise in eine advektive Form umformulieren. Damit verliert man die Möglichkeit, durch Zusatzterme eine Methode von höherer Ordnung abzuleiten, die die Dispersionsfehler bekämpft.

Im Vergleich der beiden Gitter schneidet also das hexagonale C-Gitter bedeutend besser ab: Es ist in seinen Eigenschaften äquivalent zu dem früher üblichen quadrilateralen C-Gitter. Auftretende Schachbrettmuster in Divergenz beziehungsweise Wirbel haben sehr verschiedene Ursachen: Das Schachbrett in der Divergenz auf dem triangulären C-Gitter ist ein Ausdruck einer falschen Numerik. Das Schachbrett im Wirbel im hexagonalen C-Gitter ist ein Ausdruck einer nichtlinearen Energiekaskade.

Warum diese altmodischen finiten Volumen?

Numerische Methoden schauen sehr häufig nur auf die Differentialgleichungen an sich. Ein großes Ziel ist dann, die numerischen Fehler zu vermeiden. Daher sind Verfahren, die von höherer Ordnung sind (spektrale Elemente, discontinuous Galerkin) sehr beliebt. Allerdings können die Randbedingungen für jedes einzelne Luftvolumen nur durch Flüsse über den Rand hergestellt werden. Von der Unterlage (Boden, Ozean) können wir nur flächengemittelte Flüsse darstellen. Vom Blick der Thermodynamik her müssen wir jedes Teilgebiet als abgeschlossenes Volumen behandeln können. Kurzum, die Frage, wie wir auch die irreversiblen Prozesse in sich konsistent in ein numerisches Verfahren integrieren können, erscheint mir persönlich auf die finiten Volumen Methode als Methode der Wahl zu deuten. Ich lasse mich aber gern eines Besseren belehren.

Warum rechnet ICON nicht auf Hexagons, sondern auf Dreiecken, auch wenn man vieles früh genug wusste?

Hier sind meine Überlegungen dazu. Sie sprechen sowohl sachliche Punkte als auch psychologische Aspekte an. Wir blenden so häufig aus, dass wir als Menschen vor allem in einer sozialen Umgebung leben, und diese bestimmt, was geschieht, nicht die Logik der Mathematik oder Physik.

• Man hatte anfangs schon mal die Hexagons ausprobiert (Doktorarbeit von William Sawyer), aber kannte die Thuburn-Mittelung nicht. Daher konnte man keine sinnvollen Wirbelfelder simulieren, und schloss daraus, dass es nur mit den Dreiecken geht.
• Man hat sich der wissenschaftlichen Diskussion verweigert, es nicht erlaubt, die Entwickler der TRiSK-Vektorrekonstruktion in die Suche nach optimalen Verfahren einzubinden: „Wir wollen uns von den anderen absetzen.“
• Man wollte eben die schnelle Entwicklung, um etwas Vorzeigbares zu haben. Ich frage mich aber, vor welchem Direktor meine Vorgesetzten diese Schnelligkeit rechtfertigen mussten. Gab es da überhaupt jemanden, gegenüber dem sie wirklich rechenschaftspflichtig waren?
• Leider hatte ich am Anfang selbst noch nicht verstanden, wie man die nichtlineare Advektion des Impulses diskretisiert. Meine Ergebnisse mit den Hexagons nicht so super, wie sie jetzt sind. Daher sagte man: „Jedes Modell hat eben seine Fehler, da ist es doch einerlei, welches wir nehmen.“
• Eine Fehlüberlegung war, dass man die Reihenfolge, mit der man Optionen ausschließt oder durchlässt, missachtet hat. Die richtige Reihenfolge hätte sein müssen:
  • Ist das lineare Problem in Ordnung?
  • Ist das nichtlineare Problem in Ordnung?
  • Wie geht die Gitterverfeinerung?
• Man wollte die hierarchische Gitterverfeinerung. Dies schien mit den Dreiecken besser zu gehen. Hans Herzog, mein Freund und Co-Autor, sagt dazu: „Man hat das Pferd von hinten aufgezäumt.“ Hierarchische Gitterverfeinerung ginge auch mit dem hexagonalen Gitter, aber man muss dafür verstehen, wie genau die physikalischen Vorticities auf dem Gitter definiert sind. Die Entwickler des MPAS-Modells haben sich für eine Gitterstreching-Variante statt für eine hierarchische Verfeinerungsvariante entschieden. Das wäre auch bei ICON gegangen, und war in einem Flachwasser-Prototypmodell schon ausprobiert worden (Doktorarbeit von Werner Bauer).
• Der Gutachter Dave Randall von der Colorado State University sagte während der Evaluierung des Max-Planck-Institutes für Meteorologie im November 2008 zu Bjorn Stevens, einem der Direktoren: „Am Ende wird euch nichts anderes übrig bleiben, als die Hexagons zu nehmen.“ Und Dave Randall ist wirklich ein Kenner der Materie!
• Die internationale Modellierungscommunity hat früh und häufig genug gewarnt. In den online nachzulesenden Gutachten des Papers The ICON-1.2 hydrostatic atmospheric dynamical core on triangular grids – Part 1: Formulation and performance of the baseline version wird die Wahl des Gitters nicht nur von mir ausgiebig beklagt. Leider konnte die Hauptautorin dieses Papers, Hui Wan, nicht am DCMIP-Workshop 2008 in Boulder und nicht an der „PDEs on the sphere“ Konferenz 2009 in Santa Fe teilnehmen, da die US-amerikanische Administration ihr als Chinesin die Einreise verweigerte. Dadurch bekam sie nicht aus erster Hand mit, was dort genau diskutiert wurde. Auf dem DCMIP-Workshop 2008 waren praktisch alle Anwesenden von John Thuburns neuer Mittelungsmethode quasi wie elektrisiert und haben gejubelt — schon bei der Icebreaker reception.
• Pedro da Silva Peixoto, Mathematikprofessor von der Universität Sao Paulo, saß im Pub beim Bier und sagte zu einem anderen Konferenzteilnehmer: „Du kannst in der Numerik alles machen, was du willst, aber mach es bloß nicht wie die Deutschen. Never do this!“ Auch von anderen Seiten kommt Kritik: Im Review über das ICON-Sapphire Projekt wundern sich die Gutachter über große Energie-Imbalancen. Im Review vom Paper über die Gitterverfeinerung von ICON verbittet sich ein Gutachter zu behaupten, die Gitterverfeinerung wäre zu kompliziert mit einem hexagonalen Grundgitter.
• Ich habe in mehrmaligen Versuchen, diese Entwicklung noch abzuwenden, gegen Wände geredet und konnte nichts erreichen, außer dass ich mich selbst in enormen psychischen Stress versetzt habe, dessen Folgen mich nur noch mehr in die Ecke gedrängt haben: „Seht, was für ein Mensch sie ist, sie hat noch nicht mal ihre Gefühle unter Kontrolle.“ Bei einem dieser Argumentationsversuche kam auf meine Erwähnung, dass die Parametrisierungen doppelt so häufig und daher teuer errechnet werden müssen, vom Vorgesetzten das Argument: „Das ist doch gut, dann haben wir mehr Subgridskalenvariabilität.“
• Ich rechne es Bjorn Stevens hoch an, dass er sich 2023 für eine Aussöhnung mit mir Zeit genommen hat. Danke!
• Ich verstehe meine ehemaligen Kollegen nicht. Sie nicht zu verstehen, ist eines der größten ungelösten Rätsel für mich. Wenn ich sie frage, sind die Antworten: „Wieso, ist doch nicht so schlimm, es funktioniert doch.“ oder: „Du bist einfach zu wenig kompromissbereit und zu wenig pragmatisch.“ oder: „Wir sind halt Ingenieure und keine Wissenschaftler.“ oder: „Du bist eine Fundamentalistin und akzeptierst die Sichtweisen anderer nicht.“ oder: „Die Verifikationsergebnisse sind doch top!“ (Nach Sir Karl Popper geht es aber immer um Falsifikation, und nicht um Verifikation. Verifikation in der Meteorologie heißt, den Modelloutput mit den Messdaten zu vergleichen. Das ist ein integraler Vergleich, in dem die Wirkungen der Numerik, der physikalischen Parametrisierungen und der Datenassimilation nicht mehr zu trennen sind. Offensichtlich ist erstaunlich und erfreulich gut in den Bereichen Datenassimilation und Parametrisierungen gearbeitet worden. Hut ab vor denjenigen Mitarbeitern, die dies erreicht haben.)
• Ein Grund meiner Kündigung der Arbeit am Institut für Atmosphärenphysik (IAP) in Kühlungsborn, wo ich schließlich eine ICON-Variante auf Hexagons implementiert hatte, war, dass mit dem Direktorenwechsel 2021 eine Annäherung an die Community-Modellierung mit ICON absehbar war. Ich habe für mich keinen Platz mehr dort gesehen. Tatsächlich wird jetzt am IAP mit ICON modelliert — wie vielerorts in Deutschland.
• Ich glaube, wenn Günther Doms noch gelebt hätte, wäre das alles nicht so gekommen. Mit ihm hätte ich einen wirklichen Experten an meiner Seite gehabt. Ihn hätte man nicht so einfach ignorieren können. Gott hab ihn selig.

Alle Menschen reagieren zuerst mit den Gefühlen und dann mit dem Verstand. Das hat die Evolution so eingerichtet. Ein Freund hat mal gesagt: „Du kannst Dich mit Leuten in der Sache fetzen, wie du willst. Aber Du musst am Abend mit ihnen in der Kneipe zusammen ein Bier trinken können.“

Wichtige Paper zum Nachlesen

• Geostrophic Adjustment and the Finite-Difference Shallow-Water Equations: Standard-Wissen eines Atmophärenmodellierers über Arakawa-Gitterstaffellungen im Jahr 1994
• Geostrophic Adjustment on Hexagonal Grids: Wissensstand um 2002
• Analysis of Discrete Shallow-Water Models on Geodesic Delaunay Grids with C-Type Staggering: Erstes Paper über ICON, Flachwassermodell
• A Consistent Time-Split Numerical Scheme Applied to the Nonhydrostatic Compressible Equations: Hier zeigten Hans Herzog und ich, dass horizontale Divergenzdämpfung zu fehlerhafter Dispersionsrelation von Schwerewellen im dreidimensionalen Modell COSMO führt. Das hat negative Folgen für die Konvektionsparametrisierung mit HYMACS (drittletzte Folie im verlinkten Dokument)
• Numerical wave propagation on the hexagonal C-grid: Das Thuburn-Mittelungspaper
• Numerical representation of geostrophic modes on arbitrarily structured C-grids: TRiSK I
• A unified approach to energy conservation and potential vorticity dynamics for arbitrarily-structured C-grids: TRiSK II
• Inspection of hexagonal and triangular C-grid discretizations of the shallow water equations: Mein Versuch, durch die Blume zu sagen, dass Dreiecke Mist sind.
• Conservative Transport Schemes for Spherical Geodesic Grids: High-Order Flux Operators for ODE-Based Time Integration: Paper über Advektion von höherer Ordnung von skalaren Variablen: eine Zusammenarbeit mit Bill Skamarock. Diese Zusammenarbeit war ein politisches Vabanquespiel, weil Bill Skamarock zu den TRiSK-Leuten gehörte, von denen wir uns ja absetzen sollten.
• The ICON-1.2 hydrostatic atmospheric dynamical core on triangular grids – Part 1: Formulation and performance of the baseline version: Hui Wans Paper über das hydrostatische ICON mit den nachlesbaren Kritiken der Gutachter am gewählten Gitter
• A global hexagonal C-grid non-hydrostatic dynamical core (ICON-IAP) designed for energetic consistency: Meine nichthydrostatische Variante auf Hexagons, wo aber noch die Hollingsworth-Instabilität (nichtlineare Instabilität) drin war
• The ICON (ICOsahedral Non-hydrostatic) modelling framework of DWD and MPI-M: Description of the non-hydrostatic dynamical core: Das nichthydrostatische ICON des DWD auf dem triangulären C-Gitter
• Formulation of an unstructured grid model for global ocean dynamics: Das ICON-Ozean Modell will zeigen, dass ein trianguläres C-Gitter möglich ist. Es wird nicht erwähnt, dass das C-Gitter einst wegen der relativ guten Schwerewellendispersionseigenschaften, die aufgrund von Vermeidung von inhärenten Mittelungen erreicht werden, propagiert wurde.
• A Multiscale Nonhydrostatic Atmospheric Model Using Centroidal Voronoi Tesselations and C-Grid Staggering: Das US-amerikanische MPAS-Modell auf dem hexagonalen C-Gitter
• Discretization of generalized Coriolis and friction terms on the deformed hexagonal C-grid: Meine Neuformulierung der Impulsadvektion, wobei der Clou war und plötzlich alles wirklich perfekt aussah.
• Third-order momentum advection on the quasi-hexagonal C-grid on the sphere: Dieses Paper habe ich nur eingereicht und konnte, weil ich nicht mehr am IAP arbeitete, die von den Gutachtern geforderten Verbesserungen aus Zeit- und Ressourcenmangel nicht mehr durchführen. Dort ist eine Variante der Advektion höherer Ordnung für den Impuls vorgestellt, die die Dispersionsfehler vermeidet. Bisher ist die Methode noch in keinem Modell auf der Welt, welches auf Hexagons arbeitet, operationell umgesetzt worden.
• Simulation of tropical-cyclone-like vortices in shallow-water ICON-hex using goal-oriented r-adaptivity: Hier (Doktorarbeit von Werner Bauer) wird in einem Flachwasser-Prototypmodell gezeigt, dass variable Auflösung durch ein Gitterstrechingverfahren möglich ist.
• Implementing the HYbrid MAss flux Convection Scheme (HYMACS) in ICON – First idealized tests and adaptions to the dynamical core for local mass sources: Im voll entwickelten ICON-Modell mit Konvektion werden die vorherzusehenden Probleme der künstlichen Dämpfung der horizontalen Divergenz offensichtlich. Viel ausführlicher ist das in der Dissertation von Michael Langguth (Uni Bonn) dokumentiert.
• offizielle ICON Webseite
• Werbetext für ICON im Zusammenhang von „50 Jahren Klimamodellierung“ am MPI-M, worin zugegeben wird, dass „falsche“ Lösungen durch „kreative Rechenverfahren“ gebändigt werden müssen.

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